Relação Quantitativa e Transição para a Medida
A quantidade se completa na relação — aqui, um quantum já não está mais isolado, mas em relação com outro. As três formas da relação não estão simplesmente uma ao lado da outra; elas se intensificam progressivamente.
Relação direta (y = kx — a proporcionalidade, fundamento da medição): o expoente k é um terceiro fixo, que vem de fora. As duas grandezas nada sabem uma da outra; elas são comparadas.
Relação inversa (pV = const — a lei dos gases de Boyle): agora a relação é mais estreita. Se uma cresce, a outra diminui — não porque alguém assim o estabeleça, mas porque uma grandeza total permanece constante. As grandezas estão vinculadas entre si, mas o vínculo ainda reside em um terceiro, o produto.
Relação de potência (s = ½gt² — a lei da queda dos corpos): aqui a quantidade se relaciona consigo mesma. Elevar a uma potência significa: aplicar a operação sobre seu próprio resultado. Já não é mais um terceiro externo que determina a relação, mas a grandeza se determina através de sua própria repetição.
Por isso a potência é a última categoria da quantidade e o ponto de virada. Onde a quantidade se determina a si mesma, ela já não é mais indiferente àquilo que determina: o quadrado de um comprimento é uma área, seu cubo, um volume — a quantidade produziu uma qualidade. Com isso, a quantidade se converte em qualidade, e nos encontramos diante da medida.
Ilustração: a sequência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…) é gerada por pura adição — cada número é a soma dos dois anteriores, sem que se multiplique nenhuma vez. Mas se formarmos as razões entre termos consecutivos, elas se aproximam de um valor fixo: φ ≈ 1,618, a razão áurea. E esse valor é determinado por uma equação multiplicativa: φ² = φ + 1. Seu quadrado é idêntico a ele mesmo mais um.
Com isso, a virada se torna palpável. Uma regra puramente aditiva gera um valor-limite cuja determinação é multiplicativa — a quantidade, ao relacionar-se consigo mesma, produziu algo que não estava contido na regra. Isso é desenvolvido em [[geburt-der-multiplikation]] (opcional), que acompanha o mesmo movimento, da contagem até os números primos.