Rapport quantitatif et passage à la mesure
La quantité s’accomplit dans le rapport — ici, un quantum ne se tient plus isolé, mais en relation avec un autre. Les trois formes du rapport ne se juxtaposent pas ; elles s’intensifient l’une par rapport à l’autre.
Rapport direct (y = kx — la proportionnalité, fondement de la mesure) : l’exposant k est un tiers fixe qui s’ajoute de l’extérieur. Les deux grandeurs ne savent rien l’une de l’autre ; elles sont comparées.
Rapport inverse (pV = const — la loi des gaz de Boyle) : le lien est à présent plus étroit. Quand l’une croît, l’autre diminue — non parce que quelqu’un l’aurait fixé ainsi, mais parce qu’une grandeur totale reste constante. Les grandeurs sont liées l’une à l’autre, mais le lien réside encore dans un tiers, le produit.
Rapport de puissance (s = ½gt² — la loi de la chute des corps) : ici, la quantité se rapporte à elle-même. Élever à une puissance signifie appliquer l’opération à son propre résultat. Ce n’est plus un tiers extérieur qui détermine le rapport, mais la grandeur se détermine elle-même par sa propre répétition.
C’est pourquoi la puissance est la dernière catégorie de la quantité et le point de bascule. Là où la quantité se détermine elle-même, elle n’est plus indifférente à ce qu’elle détermine : le carré d’une longueur est une surface, son cube un volume — la quantité a engendré une qualité. La quantité bascule ainsi dans la qualité, et nous voici devant la mesure.
Illustration : la suite de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…) est engendrée par pure addition — chaque nombre est la somme des deux précédents, jamais une multiplication n’intervient. Mais si l’on forme les rapports de termes successifs, ceux-ci se rapprochent d’une valeur fixe : φ ≈ 1,618, le nombre d’or. Et cette valeur est déterminée par une équation multiplicative : φ² = φ + 1. Son carré est identique à lui-même plus un.
Le basculement devient ainsi palpable. Une règle purement additive engendre une valeur limite dont la détermination est multiplicative — la quantité, en se rapportant à elle-même, a produit quelque chose qui n’était pas contenu dans la règle. Ceci est développé dans [[geburt-der-multiplikation]] (facultatif), qui retrace le même mouvement, du dénombrement jusqu’aux nombres premiers.